[이산수학] Ring의 성질, Zero Element

Ring Structure 복습

비어있지 않은 집합 R 위에 덧셈과 곱셈이라는 두 개의 닫힌 이항 연산(binary operator)가 정의되어 있을 때

 

$<R, +, \cdot>$ 이 Ring이 되려면 R의 원소 a, b, c에 대해 다음 조건들이 모두 만족되어야 한다.

1. a + b = b + a (덧셈 교환법칙)
2. a + (b + c) = (a + b) + c (결합 법칙)
3. $\exists \ z \ (\in R)$ such that a + z = z + a = a (덧셈 항등원)
4. for each $a \in R, \exists \ b$  with a + b = b + a = z (덧셈 역원) ==> 여기까지 Abelian group의 조건
5. $a \ \cdot \ (b \ \cdot \ c)$  = $ (a \ \cdot \ b ) \ \cdot \ c$ (곱셈 결합 법칙)
6. $a \ \cdot (b + c) = a \ \cdot \ b + a \cdot \ c$ (분배 법칙)

• 일반적인 덧셈과 곱셈을 정의했을 때 정수, 유리수, 실수, 복소수는 Ring이 된다.
• $M_{2, 2}(Z)$ 라는 정수 원소를 가진 2 X 2 행렬들의 집합도 행렬 덧셈과 곱셈을 이용해 Ring이 된다.

 

Set (집합) 에서 곱셈에 대한 분배 법칙, 폐쇄성, 결합 법칙이 만족되면 Ring

Ring 에서 곱셈 항등원이 있으면 Ring with Unity

Ring 에서 곱셈 교환법칙이 성립하면 Commtative Ring

Ring 에서 곱셈에 대한 항등원, 교환법칙을 만족하면 Commutative Ring with Unity

Commutative Ring with Unity에서 곱셈에 대한 역원이 있으면 Field

 

Example

$(Z, \oplus, \otimes)$; $ x \oplus y = x + y - 1$ $x \otimes y = x + y - xy$ 로 정의하자

1. $\oplus , \otimes$ 는 연산에 대해 닫혀있다. (연산 후의 결과도 정수집합)
2. $\oplus$은 결합법칙, 교환법칙을 만족한다.
3. $\oplus$의 덧셈 항등원은 1이다. ($x \oplus 1 = 1 \oplus x = x + 1 - 1 = x$)
4. 덧셈에 대한 x의 역원은 2 - x이다. ($x \oplus (2 - x)  = (2 - x) \oplus x = x + 2 - x - 1 = 1$)
5. $(Z, \oplus, \otimes)$는 $\otimes$에 대한 배분, 결합 법칙을 만족한다. 
6. $\otimes$의 항등원은 0이다. ($x \otimes u = x + u + xu = x \rightarrow u = 0$)

위 정수 집합은 Ring with Unity이다. 

 

Zero Element

대수 구조에서 덧셈 연산에 대해 모든 원소와 더해도 결과가 변하지 않는, 말 그대로 "0" 역할을 하는 원소 (additive identity)
곱셈에 대해서는 어떤 원소와 곱하더라도 결과가 zero element
$ z \otimes a = a \times z = z$ for all z $\in$ K

 

맥락을 따라 두 가지로 정의될 수 있다.

1. additive identity (덧셈 항등원)
2. absorbing element (흡수원)

$(S, *)$ 라는 집합이 있을 때 Zero Element는 z로 정의되며 모든 S의 원소 s에 대해 $z * s = s * z = z$ 이다.

• $z * s = z$ => left zero
• $s * z = z$ => right zero

left zero와 right zero가 같을 때 완전한 absorbing element가 된다. 

 

Example

$U = \{1, 2\}$이고 $R=P(U)$ R은 U의 멱집합(U의 모든 부분 집합)일 때

$A + B = A \Delta B$ ( A, B 중 하나에만 속하는 원소들로 이루어진 집합)

$A \ \cdot \ B = A \cap B$ 로 정의한다. (두 집합의 공통 원소)

 

이를 표로 표현하면 다음과 같다.

• 덧셈 항등원 : $\phi$
• 덧셈 역원 : 자기 자신
• 곱셈 항등원 : $U$
• 교환법칙 성립
• $\{1\}, \{2\}$ : $\phi$의 고유 약수 -> 서로 곱했을 때 zero element를 만든다, 곱셈 역원이 존재하지 않는다.
  • 이를 proper divisors of zero (0의 진약수)라고 한다. 

곱셈 역원을 갖는 원소를 뭐라고 할까?

Multiple Inverse & Unit

R을 Ring with Unity라고 할때, 곱셈 항등원 u를 가진다.
R에 속한 모든 a, b에 대해 $ab = ba = u$를 만족한다.
이 때, b를 a의 곱셈 역원 (Multiple inverse) 라고 하고 a를 R의 unit이라고 한다. (반대도 성립)

 

unit은 곱셈 역원을 갖는 R의 원소이다.

 

 

Integral Domain & Field

R을 commutative ring with unity 라고 할 때
1. R이 proper divisors of zero가 없으면 R을 Integral domain이라고 한다.
2. R의 0이 아닌 모든 원소가 unit이라면 field라고 한다.

 

• $<Z, +, \ \cdot >은 integral domain이지만 field는 아니다.
  • zero divisor는 없지만 곱셈 역원은 정수 집합 내에 존재하지 않는다.
  • Z의 원소 a, b를 곱했을 때 0이 나오면 a, b 둘 중 하나가 0이여야 하지만 2의 역수는 $\frac{1}{2}$ 로 유리수 집합에 속한다. 
• 유리수, 실수, 복소수 집합은 field이다.

Example

$M{2, 2}(Z)$ (2 X 2 행렬 집합)은 Integral domain이 될 수 있을까?

• 될 수 없다.

• 위처럼 영행렬이 아닌 두 행렬의 곱셈 결과가 영행렬이 나온다. (zero divisor를 가지고 있다.)

 

Ring의 성질

1.  모든 Ring의 덧셈 항등원과 역원은 유일하다.
2. 덧셈의 소거 법칙(Cancellation of Addiction)이 성립한다.
   • $a + b = a + c \rightarrow b = c$
   • $b + a = c + a \rightarrow b = c$
3. absorbing element $z$가 존재한다.
   • $az = za = z$
4. R의 임의의 원소 a, b에 대해 다음이 성립한다.
   • $-(-a) = a$ :  a의 덧셈 역원의 덧셈 역원은 자기 자신이다.
   • $a(-b) = (-a)b = -(ab)$  : b의 덧셈 역원을 곱한 값이 ab의 덧셈 역원과 같다.
   • $(-a)(-b) = ab$
5. R에 unity가 존재한다면 그 unity는 유일하다. -> 곱셈 역원도 유일하다.
   • Ring에서는 모든 원소가 곱셈에 대해 역원이 존재한다고 할 수 없지만 만약 존재한다면 그 역원은 유일하다.
6. R이 commutative ring with unity일 때 Rdl Integral domain 일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
   • $a \neq z$ 일 때 $\mathbf{ab = ac \rightarrow b = c}$ 이다.
   • cancellation of multiplication (곱셈에 대한 소거법칙)이 성립한다.
7. 만약 $(F, +, \ \cdot)$ 이 Field 라면, 이는 Integral domain이다.
   • F에 zero divisor가 있다고 가정해보자, zero element가 아닌 원소 a, b가 존재하여 $ab = z$이다.
   • Field에서는 zero element가 아니면 곱셈 역원을 가진다. 양쪽 변에 a의 역원 $a^{-1}$을 곱한다.
   • $a^{-1}ab = a^{-1}z$ 곱셈 결합 법칙을 사용하여 $(aa^{-1})b = a^{-1}z$로 변형한다.
   • $aa^{-1} = 1$이고 $a^{-1}z = z$이기 때문에 $\mathbf{1b = z}$ 이다. 우리는 b가 zero element가 아니라고 가정했기 때문에 이는 모순된다. 
   • 그러므로 F는 zero divisor가 없는 Integral domain이다.
8. $(D, + \ \cdot)$을 유한개의 원소를 가진 Integral domain이라고 했을 때 D는 필드이다. 
   
   • $D = \{d_1, d_2, ..., d_n\}$의 원소를 가지고 있다. 
   • D에 속한 zero element가 아닌 어떤 원소 d를 D에 곱하면 $dD = \{dd_1, dd_2, ..., dd_n\}$
   • 곱셈에 대해 닫혀있고 곱셈 소거 법칙이 성립하기 때문에 $\mathbf{dd_i \neq dd_j}$ 이고 $\mathbf{dD = D}$이다. 
   • 그리고 어떤 k에 대해 $dd_k = u$가 성립하기 때문에 d는 D의 unit이 된다. (모든 d는 곱셈 역원이 있다.)
   • 그러므로  $(D, + \ \cdot)$ 는 Field이다.